tag:blogger.com,1999:blog-69752484300528973122024-03-13T04:46:46.917-07:00Jakito im GeisterhausJakitohttp://www.blogger.com/profile/08235089048981338795noreply@blogger.comBlogger4125tag:blogger.com,1999:blog-6975248430052897312.post-6589469683118872742020-03-15T08:28:00.000-07:002020-03-15T08:34:49.637-07:00WarumMathe.txt (9. Nov. 2006)Warum Mathematik?<br />
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Die Frage nach dem "Warum" ist auch für die Mathematik von Bedeutung: Man möchte nicht nur den Satz kennen, sondern auch wissen, warum er gilt. Deshalb beweist man den Satz. Ein Beweis hat aber zwei verschiedene Aspekte. Zum einen wird gezeigt, dass unter gewissen explizit genannten Voraussetzungen der Satz immer gilt (obwohl die meisten Sätze oft auch allgemeinere Gültigkeit haben, selbst für Fälle wo sie so wörtlich und uneingeschränkt nicht gelten.) Zum anderen erhofft man sich jedoch auch, zu erfahren, "warum" der Satz gilt (oder ist es gar trivial, dass der Satz gilt, wenn man nur den richtigen Blickwinkel hat?...) So ist zum Beispiel der Beweis des Vierfarbensatzes umstritten, weil aus der Computeranalyse von 1000 Spezialfällen nicht schlüssig verständlich wird, warum der Satz richtig ist.<br />
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Meist liegt ein gewisses Erfahrungswissen bereits vor. Man möchte einerseits wissen, wie zuverlässig es ist, und andererseits vom Bekannten auf das Unbekannte extrapolieren können.<br />
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Die Untersuchung mathematischer Strukturen läßt sich als Entdeckungsreise in einer real existierenden Welt auffassen. Diese Welt ist real, weil man ihre Gesetze/Spielregeln nicht willkürlich ändern kann, sondern sie sich von allein ergeben. (Die Welt eines Romans wird vom Autor bestimmt, Beobachtungen der realen Welt sind durch den Betrachter beeinflusst, Gesetze und Richtersprüche sind willkürlich.)<br />
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Die Abstraktion gewisser Grundstrukturen erlaubt es, gewisse Probleme und Schwierigkeiten klarer zu erkennen.<br />
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Die Idealisierung erlaubt es, gewisse Phänomene viel besser zu fassen, als der naive Glaube an die eigenen Vorurteile.<br />
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Beschränkte man die Mathematik auf die konkrete Anwendung, täte man oft sowohl dem eigentlichen Erfinder der verwendeten Technik (der vielleicht gar kein Mathematiker war), als auch der Mathematik unrecht.<br />
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Die Mathematik muss einen gewissen Wissensschatz pflegen und weiterentwickeln, sowie anpassen.<br />
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Ein idealisiertes konsistentes mathematisches Modell hat oft den Vorteil, eine vollständige runde kleine Welt zu beschreiben. Dies ist oft einfacher fehlerfrei einsetzbar als eine phänomenologische inkonsistente Approximation der Wirklichkeit (wie z.B. die Kirchhoff Beugungstheorie.) Durch eine Einbettung in ein konsistentes mathematisches Modell werden Approximationen akzeptabler (Einbettung der Kirchhoff Beugungstheorie in den Rahmen der Maxwellgleichungen oder der Helmholz Gleichung). Bei einem idealisierten Modell kann man oft Probleme besser sehen als bei einer wilden Approximation.<br />
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Mathematik ist auch eine Sprache. Oft sind verschiedene Theorien sogar verschiedene Sprachen, die die gleiche Wirklichkeit in verschiedenen Begriffen wiedergeben können. Die Begriffe und die sie beschreibende Sprache werden oft zeitgleich entwickelt. Die Sprache und Notation unterliegt jedoch meist einem stärkeren Wandel als die zugrundeliegenden Begriffe.<br />
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Aufgrund ihrer Spracheigenschaft ist die Mathematik für die Programmierung von Rechnern von Bedeutung, da diese Deutsch und Englisch meist nur mangelhaft beherrschen, und man ihnen mathematische Sprachen leichter beibringen kann.<br />
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Leider wird Mathematik oft nur auf die notwendige Intelligenz reduziert, die es oft benötigt. Die Mathematik wird dann als eine Art Intelligenztest mißbraucht. Dies funktioniert sogar, da die Mathematik viele Welten bereitstellt, und der Mensch sich in diese Welt eindenken und anpassen muss. Damit kann man dann aber auch die allgemeine Anpassungsfähigkeit testen. Dieser Test versagt natürlich, wenn der Probant in die entsprechende Welt bereits eingedacht und angepasst ist (ausser dem Beleg der Tatsache, dass er sich irgendwann einmal eingepasst haben muss.)<br />
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Rene Thom hat auch viel über Mathematik geschrieben.<br />
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Dieser Text kommt aus einer Datei mit Namen "WarumMathe.txt", die zuletzt am 9. Nov. 2006 geändert wurde. Ich habe sie damals an ein paar Bekannte verschickt. Ich poste sie hier, weil sie meine Sicht auf die Mathematik wiedergibt, bevor ich angefangen habe, mich mit mathematischer Logik zu beschäftigen.Jakitohttp://www.blogger.com/profile/08235089048981338795noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6975248430052897312.post-33703143896973023902016-09-09T06:52:00.001-07:002016-09-09T06:52:27.700-07:00Logik ohne WahrheitDies ist eine deutsche Übersetzung meines im <a href="https://gentzen.wordpress.com/2016/09/03/logic-without-truth/">Original englischen Blogposts</a> von meinem <a href="https://gentzen.wordpress.com/">Blog über Logik (und partielle Funktionen)</a>. Eigentlich sinnlos, war mein Ziel doch meine deutschen Texte ins Englische zu übersetzen. Aber der Titel hat mir so gut gefallen. Und es ist doch wirklich spannend, ob eine Logik ohne Wahrheit sinnvoll sein kann. Trotzdem sinnlos, insbesondere da alle Referenzen immer noch auf englische Texte verweisen (und dies unvermeidbar ist).<br />
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<a name='more'></a><br />
<a href="http://www.math.utah.edu/~palais/pi.html">Pi ist verkehrt!</a> Na und? Diese Überlegungen sind weder neu, noch kompliziert genug, um als echte Mathematik durchzugehen! Und die Kommentare, dass $2\pi i$ oder $\pi/2$ noch richtiger sein könnten, zeigen, dass es nicht mal eine ausgemachte Sache ist.<br />
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Vor Kurzem spendierte ich ein paar logischen Fragen genügend Kraft um greifbare Fortschritte zu machen. Als ich aber Freunden und anderen Logikern davon erzählte, wurde mir klar wie irrelevant all meine Ergebnisse und Folgerungen sein werden. Ich werde sie trotzdem in einer passenden Zeitschrift veröffentlich müssen, weil sie <a href="http://www.ellerman.org/tag/partition-logic/">David Ellermans Arbeit über die Logik von Partitionen</a> fortsetzen. Sie nicht zu veröffentlichen würde bedeuten, den Wert von David Ellermans Arbeit als unbedeutend abzutun. Dabei hat er wirklich viel Aufwand investiert, und glaubt an ihren Wert. Ich werde hier aber nicht über diese <a href="http://cs.stackexchange.com/questions/27828/the-equivalence-relations-cover-problem-in-graph-theory">Ergebnisse</a> schreiben, weil mir unklar ist, wie sich das auf meine Möglichkeiten diese Ergebnisse zu publizieren auswirken würde.<br />
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Lasst uns stattdessen ein wenig Spaß haben, extrem nah an der klassischen Logik bleiben, und trotzdem eine Logik ohne Wahrheit entdecken. Und Gerhard Gentzen soll mal wieder erwähnt werden.
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<h3>
Partielle Wahrheiten</h3>
<a href="http://cs.stackexchange.com/questions/24574/what-are-appropriate-isomorphisms-between-formal-languages">Ich</a> <a href="http://philosophy.stackexchange.com/questions/15903/why-is-mathematics-fond-of-infinity-but-dismissive-towards-partially-undefine">mag</a> <a href="http://mathoverflow.net/questions/224405/did-bishop-heyting-or-brouwer-take-partial-functions-seriously">partielle</a> <a href="http://math.stackexchange.com/questions/1901930/which-properties-of-total-functions-are-absent-for-partial-functions">Funktionen</a>. Für eine partielle Funktion $p:X\to Y$ gilt<br />
<ul>
<li>$p^{-1}(A\cap B)=p^{-1}(A)\cap p^{-1}(B)$</li>
<li>$p^{-1}(A\cup B)=p^{-1}(A)\cup p^{-1}(B)$</li>
<li>$p^{-1}(A {}\setminus{} B)=p^{-1}(A) {}\setminus{} p^{-1}(B)$</li>
<li>$p^{-1}(A \Delta B)=p^{-1}(A) \Delta p^{-1}(B)$ wobei $A \Delta B := (A {}\setminus{} B) \cup (B {}\setminus{} A)$</li>
</ul>
Aber $p^{-1}(Y)=X$ gilt nur, wenn $p$ eine totale Funktion ist. Insbesondere gilt $p^{-1}(A^c)=p^{-1}(A)^c$ nur (selbst für spezielle $A$), wenn $p$ total total ist. Denn sonst $p^{-1}(Y)=p^{-1}(A\cup A^c)=p^{-1}(A)\cup p^{-1}(A^c) \quad = \quad p^{-1}(A)\cup p^{-1}(A)^c=X$ Eine der Behauptungen soll auch bewiesen werden: $x {}\in{} p^{-1}(A {}\setminus{} B) \Leftrightarrow p(x) {}\in{} A {}\setminus{} B \Leftrightarrow p(x) {}\in{} A \land p(x) {}\notin{} B \Leftrightarrow x {}\in{} p^{-1}(A) {}\setminus{} p^{-1}(B)$<br />
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Beachte, dass $A {}\setminus{} B = A \triangle (A \cap B)$. Die Operationen, welche erhalten bleiben, sind "und" (Konjunktion), "oder" (Disjunktion), und "entweder-oder" (Kontravalenz) wenn sie aus einer logischen Perspektive interpretiert werden. Es wäre schön, wenn die Implikation ebenfalls erhalten bliebe. Dies erscheint jedoch hoffnungslos, da $A \to A$ stets wahr ist, und Wahrheit eben nicht erhalten bleibt. Wenigstens gilt $A \subseteq B \Rightarrow p^{-1}(A) \subseteq p^{-1}(B)$, d.h. zumindest die externe Implikation welche durch die Ordnung definiert wird bleibt erhalten. Es sollte also möglich sein, dies in eine Logik zu verwandeln, bei der interne Wahrheit nicht erhalten bleibt unter Kontext-Morphismen.<br />
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<h3>
Gerhard Gentzens Sequenzenkalkül</h3>
Der <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequent_calculus">Sequenzenkalkül</a> ist ein Beweiskalkül mit signifikanten praktischen und theoretischen Vorteilen im Vergleich zu offensichtlicheren Beweiskalkül Systemen. Er verwendet Sequenzen $A_{1},\ldots,A_{r}\vdash B_{1},\ldots,B_{s}$. Die Ausdrücke $A_i$ (und $B_j$) können logische Formeln wie $S(x)=S(y) \to x = y$ (das 4-te Peano Axiom) sein. Sie können auch als Teilmengen einer Grundmenge $X$ interpretiert werden. Diese Interpretation ist ausreichend, um die Grundlagen des Sequenzenkalküls zu verstehen. Die Sequenz selbst wird dann als $[A_{1}]\cap\ldots\cap [A_{r}]\ \subseteq\ [B_{1}]\cup\ldots\cup [B_{s}]$ interpretiert.
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<table>
<tbody>
<tr>
<th>Linke strukturelle Regeln</th>
<th>Rechte strukturelle Regeln</th>
</tr>
<tr>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma\vdash\Delta\\
\hline \Gamma,A\vdash\Delta
\end{array}(WL)$</td>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma\vdash\Delta\\
\hline \Gamma\vdash A,\Delta
\end{array}(WR)$</td>
</tr>
<tr>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma,A,A\vdash\Delta\\
\hline \Gamma,A\vdash\Delta
\end{array}(CL)$</td>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma\vdash A,A,\Delta\\
\hline \Gamma\vdash A,\Delta
\end{array}(CR)$</td>
</tr>
<tr>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma_{1},A,B,\Gamma_{2}\vdash\Delta\\
\hline \Gamma_{1},B,A,\Gamma_{2}\vdash\Delta
\end{array}(PL)$</td>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma\vdash\Delta_{1},A,B,\Delta_{2}\\
\hline \Gamma\vdash\Delta_{1},B,A,\Delta_{2}
\end{array}(PR)$</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Hierbei steht $\Gamma,\Delta, ...$ für beliebige endliche Aneinanderkettungen von Aussagen. Die stukturellen Regeln sind wohl eher langweilig. Die folgenden globalen Regeln sind schon interessanter<br />
<table>
<tbody>
<tr>
<th>Axiom</th>
<th>Schnitt</th>
</tr>
<tr>
<td>$\begin{array}{c}
\ \\
\hline A\vdash A
\end{array}(I)$</td>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma\vdash\Delta,A\quad A,\Sigma\vdash\Pi\\
\hline \Gamma,\Sigma\vdash\Delta,\Pi
\end{array}(Cut)$</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Bis jetzt hat keine der Regeln irgendwelche logischen Konstanten oder Verknüpfungen verwendet. Sie können direkt für die Teilmengeninterpretation verifiziert werden. Die folgenden logischen Regeln können erst verifiziert werden, nachdem die (intendierte) Interpretation der logischen Verknüpfungen festgelegt worden ist.<br />
<table>
<tbody>
<tr>
<th>Linke logische Regeln</th>
<th>Rechte logische Regeln</th>
</tr>
<tr>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma,A,B\vdash\Delta\\
\hline \Gamma,A\land B\vdash\Delta
\end{array}(\land L)$</td>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma\vdash A,B,\Delta\\
\hline \Gamma\vdash A\lor B,\Delta
\end{array}(\lor R)$</td>
</tr>
<tr>
<td>$\begin{array}{c}
\ \\
\hline \bot\vdash\Delta
\end{array}(\bot L)$</td>
<td>$\begin{array}{c}
\ \\
\hline \Gamma\vdash\top
\end{array}(\top R)$</td>
</tr>
<tr>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma,A\vdash\Delta\quad\Sigma,B\vdash\Pi\\
\hline \Gamma,\Sigma,A\lor B\vdash\Delta,\Pi
\end{array}(\lor L)$</td>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma\vdash A,\Delta\quad \Sigma\vdash B,\Pi\\
\hline \Gamma,\Sigma\vdash A\land B,\Delta,\Pi
\end{array}(\land R)$</td>
</tr>
<tr>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Sigma,B\vdash\Pi\\
\hline \Gamma,\Sigma,A\to B\vdash\Delta,\Pi
\end{array}(\to L)$</td>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma,A\vdash B,\Delta\\
\hline \Gamma\vdash A\to B,\Delta
\end{array}(\to R)$</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Eine mögliche Interpretation dieser Verknüpfungen in Bezug auf Teilmengen wäre $[\bot]:=\emptyset$, $[\top]:=X$, $[A\land B]:=[A]\cap [B]$, $[A\lor B]:=[A]\cup [B]$, und $[A\to B]:=[A]^c\cup [B]$.<br />
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Es könnte lehrreich sein, auch eine Interpretation zu sehen, bei der eine der klassischen logischen Regeln verletzt wird. Deshalb lasst uns stattdessen $[A\to B]:=\mathrm{int}([A]^c\cup [B])$ verwenden. Hier ist $\mathrm{int}$ der Operator, welcher jeder Teilmenge ihr Inneres zuordnet. Die Aussagen $A_i$ (und $B_j$) stehen in diesem Falle für offene Teilmengen. Die Regel $\begin{array}{c}
\Gamma,A\vdash B,\Delta\\
\hline \Gamma\vdash A\to B,\Delta
\end{array}(\to R)$ wird jetzt verletzt, und muss durch die Regel $\begin{array}{c}
\Gamma,A\vdash B\\
\hline \Gamma\vdash A\to B
\end{array}(\to R_J)$ ersetzt werden. Dies ergibt den intuitionistischen Sequenzenkalkül, der genau die zulässigen Schlussfolgerungen der intuitionistischen Logik charakterisiert.<br />
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Um zu sehen, dass $(\to R)$ verletzt wird, sei $\Gamma=\top$, entspreche $A$ als $[A]=(0,\infty)$ gewählt, $B=\bot$, und $\Delta = A$. Oberhalb der Linie steht nun $\mathbb R \cap (0,\infty) \subseteq \emptyset \cup (0,\infty)$, es ist also wahr. Unterhalb der Linie steht $\mathbb R \subseteq \mathrm{int}((-\infty,0])\cup (0,\infty)$, und das ist eben falsch.
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<h3>
Ein unheimlicher Doppelgänger des Sequenzenkalküls</h3>
Beachte, dass die Implikation $C\land A \vdash B \Leftrightarrow C \vdash (A\to B)$ erfüllt, bzw. vielmehr $[C]\cap [A] \subseteq [B] \Leftrightarrow [C] \subseteq [A\to B]$. Jetzt ersetzen wir die Implikation durch die Minusoperation. Beachte, dass die Minusoperation $[A] \subseteq [B]\cup [C] \Leftrightarrow [A-B] \subseteq [C]$ with $[A-B]:=[A]{}\setminus{}[B]$ erfüllt. Wir erhalten somit die beiden folgenden Regeln anstelle von $(\to L)$ und $(\to R)$.
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<table>
<tbody>
<tr>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma,A\vdash B,\Delta\\
\hline \Gamma,A- B\vdash \Delta
\end{array}(- L)$</td>
<td>$\begin{array}{c}
\Gamma\vdash A,\Delta\quad\Sigma,B\vdash \Pi\\
\hline \Gamma,\Sigma\vdash A-B,\Delta,\Pi
\end{array}(- R)$</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Natürlich müssen wir auch $\to$ und $\top$ aus der Sprache entfernen, zusammen mit der Regel $(\top R)$. Dieser Sequenzenkalkül ist immer noch so korrekt und vollständig wie der originale Sequenzenkalkül. Aber wir können nicht mehr über Implikationen sprechen, nur noch über die Minusoperation. Eine gewisse Form der Implikation ist noch in $\vdash$ präsent, aber es wird nicht mehr in der internen Sprache der Logik selbst reflektiert. Dies ist also unsere Logik ohne Wahrheit.<br />
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Ich weiß (oder verstehe) nicht, ob diese Art von Kontext-Morphismus irgendwann relevant ist, und ob eine solche Logik ohne Wahrheit irgendwo in der echten Welt vorkommt. Hat das irgendetwas mit der Tatsache zu tun, dass es einfacher ist die Relevanz oder Wahrheit einer gegebenen Schlussfolgerung zu verwerfen, als zu beweisen, dass sie wichtig und wahr ist? Was mir an dieser Logik gefällt, ist ihre Asymmetrie zwischen der Implikation und der Falschheit. Ich wollte natürlich vorkommende Asymmetrien in mathematischen Hierarchien und der Logik finden. Selbst für die Ergebnisse, die ich veröffentlichen will, have ich das selbe Problem: Ich verstehe nicht wirklich die Relevanz der zugehörigen Kontext-Morphismen, noch nicht mals ob es überhaupt Kontext Morphismen geben sollte, und ob meine vergeschlagenen Kontext-Morphismen die richtigen sind.
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<h3>
Schlussfolgerungen?</h3>
Dieser Blogpost enthielt ursprünglich auch eine Logik ohne Falschheit, bzw. eine Logik wo Falschheit (und Negation) nicht verwendet werden. Es wurde aber länger und länger, und dieser Blogpost ist ohnehin schon lang genug. Vielleicht war dies keine so tolle Idee, da die Erklärung des Sequenzenkalküls auch dazu da war, besser verstehen zu können wie so eine Logik mit einer reduzierten Menge an logischen Konstanten und Verknüpfungen trotzdem seine Haupteigenschaften beibehält. Vielleicht schaffe ich es, aus dem entfernten Material eine anderen Blogpost zu erzeugen. Vielleicht ist es aber ohnehin niemandem (mich selbst eingeschlossen) wichtig, wie bereits zu Anfang angedeutet. Vielleicht sollte ich auch meine Zeit besser nutzen, um den Artikel über meine Ergebnisse (von denen auch zu Anfang erzählt habe) zu vollenden, und ihn dann ... einzureichen ...Jakitohttp://www.blogger.com/profile/08235089048981338795noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6975248430052897312.post-7913145019491800102014-10-26T15:08:00.000-07:002014-10-26T15:08:55.877-07:00Verkleinern könnte so einfach seinWenn wir mit Hilfe einer Maus einen Bildausschnitt vergrößern wollen, so markieren wir ein Rechteck in dem Bild, was sodann zum neuen sichtbaren Bereich wird. Aber was können wir tun, um genauso effizient ein Bild zu verkleinern zu können? Wir können im sichtbaren Bereich ein Rechteck markieren, in das der bisherige sichtbare Bereich hineingeschrumpft wird. Als Bilderfolge sieht dies ungefähr so aus:<br />
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-COAA2sGagp8/UptQ_HUleoI/AAAAAAAAAAU/-Z-3MQ_gvHI/s1600/zoom-out.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="http://1.bp.blogspot.com/-COAA2sGagp8/UptQ_HUleoI/AAAAAAAAAAU/-Z-3MQ_gvHI/s640/zoom-out.png" height="640" width="440" /></a><br />
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Klingt einfach? Ist es auch. Nur leider implementieren nur sehr wenige Programme diese Funktionalität. Aber vielleicht lässt sich das ja ändern.Jakitohttp://www.blogger.com/profile/08235089048981338795noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6975248430052897312.post-50643666970627903282012-06-08T17:34:00.000-07:002014-10-26T15:06:14.053-07:00Lie Ableitung und DivergenzDie klassischen Differentialoperatoren wie Divergenz oder Poisson-Klammer begegneten mir zuerst in der Physik. Nachdem ich später etwas Erfahrung mit Differentialgeometrie und Distributionen gesammelt hatte, entwickelte ich ein viel intuitiveres Verständnis dieser Differentialoperatoren. Im Jahr 2001 oder 2002 habe ich mal einen längeren Text mit vielen Bildern über diese und verwandte Begriffsbildungen geschrieben. Ich habe mal den Text und zwei zugehörigen Präsentationen in einem <a href="https://drive.google.com/folderview?id=0B6x6GQ82vuH_YnE2STNKZXU1cUk">Google Drive Ordner</a> abgelegt. Ausserdem habe ich noch eine modifizierte Fassung beigelegt, bei der eine ursprünglich entfernte Passage (=3 Seiten) zusätzlich enthalten ist.<br />
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Das erste Kapitel schweift etwas von Thema ab, und konstruiert Testkurven mit vorgegebenen Eigenschaften. Die zwei anderen Kapitel sind aber auch ohne diese Kapitel verständlich, und vermutlich von größerem Interesse für den durchschnittlichen Leser.Jakitohttp://www.blogger.com/profile/08235089048981338795noreply@blogger.com0